1.1 消費者パート – 問題12(解答・解説)

解答

誤っているものは（3）です。

問題のポイント

この問題では、2つの状態での消費
\(x_1, x_2\)
を考えます。

• 状態1の確率：\(0.25\)
• 状態2の確率：\(0.75\)
• 効用関数：\(u(x)=\sqrt{x}\)

したがって、期待効用は
\[
U(x_1,x_2)=0.25\sqrt{x_1}+0.75\sqrt{x_2}
\] と書けます。

また、初期賦存は
\[
A=(160,40)
\] であり、公平保険が利用できるので予算線は
\[
0.25x_1+0.75x_2=70
\] です。

各選択肢を順番に確認する

（1）点 \(C\) は45度線上にあるので、状態1と状態2での消費が等しい。

点
\[
C=(70,70)
\] は、\(x_1=x_2\) となっています。

45度線上の点は、横軸と縦軸の値が等しい点です。
したがって、状態1と状態2での消費は等しいので、この文は正しいです。

（2）公平保険の予算線の傾きは \(-\frac{1}{3}\) である。

予算線
\[
0.25x_1+0.75x_2=70
\] を \(x_2\) について解くと、
\[
0.75x_2=70-0.25x_1
\] \[
x_2=\frac{70}{0.75}-\frac{0.25}{0.75}x_1
\] \[
x_2=\frac{280}{3}-\frac{1}{3}x_1
\] となります。

よって、予算線の傾きは
\[
-\frac{1}{3}
\] です。

したがって、（2）は正しいです。

（3）点 \(C\) における無差別曲線の接線の傾きの絶対値は \(3\) である。

期待効用関数は
\[
U(x_1,x_2)=0.25\sqrt{x_1}+0.75\sqrt{x_2}
\] です。

したがって、各限界効用は
\[
MU_1=\frac{\partial U}{\partial x_1}
=0.25\cdot\frac{1}{2\sqrt{x_1}}
\] \[
MU_2=\frac{\partial U}{\partial x_2}
=0.75\cdot\frac{1}{2\sqrt{x_2}}
\] です。

無差別曲線の接線の傾きは
\[
\frac{dx_2}{dx_1}
=-\frac{MU_1}{MU_2}
\] なので、
\[
\frac{dx_2}{dx_1}
=
-\frac{0.25\cdot\frac{1}{2\sqrt{x_1}}}
{0.75\cdot\frac{1}{2\sqrt{x_2}}}
\] \[
\frac{dx_2}{dx_1}
=
-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{x_2}{x_1}}
\] となります。

点 \(C=(70,70)\) では
\[
x_1=x_2
\] なので、
\[
\frac{dx_2}{dx_1}
=-\frac{1}{3}
\] です。

よって、接線の傾きの絶対値は
\[
\left|-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}
\] です。

したがって、「絶対値は 3 である」は誤りです。
本当は
\[
\frac{1}{3}
\] です。

（4）この消費者は、点 \(A\) より点 \(C\) を好む。

点 \(A=(160,40)\) の期待効用は
\[
U(A)=0.25\sqrt{160}+0.75\sqrt{40}
\] です。

\[
\sqrt{160}=4\sqrt{10},\quad \sqrt{40}=2\sqrt{10}
\] なので、
\[
U(A)=0.25\cdot 4\sqrt{10}+0.75\cdot 2\sqrt{10}
\] \[
U(A)=\sqrt{10}+1.5\sqrt{10}=2.5\sqrt{10}
\] となります。

数値でみると、
\[
U(A)\approx 2.5\times 3.162 \approx 7.91
\] です。

一方、点 \(C=(70,70)\) の期待効用は
\[
U(C)=0.25\sqrt{70}+0.75\sqrt{70}=\sqrt{70}
\] です。

数値でみると、
\[
U(C)\approx 8.37
\] です。

したがって、
\[
U(C)>U(A)
\] なので、この消費者は点 \(A\) より点 \(C\) を好むことになります。

よって、（4）は正しいです。

結論

（1）、（2）、（4）は正しく、誤っているのは（3）です。

特に大事なのは、点 \(C\) における無差別曲線の傾きです。

\[
\frac{dx_2}{dx_1}=-\frac{1}{3}
\] なので、絶対値は
\[
\frac{1}{3}
\] です。

したがって、正解は（3）です。