1.1 消費者パート – 問題14(解答・解説)

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解答

正解は (2) です。

この問題は、2期間の消費選択の問題です。
消費者は、第1期の消費 \(c_1\) と第2期の消費 \(c_2\) を選びます。

与えられている条件は次のとおりです。

利子率 \(r=1\) とは、100% の利子率という意味です。
つまり、第1期に 1 借りると、第2期に 2 返さなければなりません。

2期間の予算制約は
\[
c_1+\frac{c_2}{1+r}=y_1+\frac{y_2}{1+r}
\] です。

今回は \(r=1\) なので
\[
1+r=2
\] です。したがって、
\[
c_1+\frac{c_2}{2}=60+\frac{120}{2}
\] \[
c_1+\frac{c_2}{2}=60+60=120
\] となります。

これを \(c_2\) について解くと、
\[
c_2=240-2c_1
\] です。

よって、予算線は
\[
c_2=240-2c_1
\] となります。

効用関数は
\[
U=\ln c_1+\frac{1}{2}\ln c_2
\] です。

限界効用を求めると、
\[
MU_1=\frac{\partial U}{\partial c_1}=\frac{1}{c_1}
\] \[
MU_2=\frac{\partial U}{\partial c_2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{c_2}
\] です。

最適点では、無差別曲線の傾きと予算線の傾きが一致するので、
\[
\frac{MU_1}{MU_2}=1+r
\] が成り立ちます。

これに代入すると、
\[
\frac{1/c_1}{(1/2)(1/c_2)}=2
\] \[
\frac{2c_2}{c_1}=2
\] \[
\frac{c_2}{c_1}=1
\] \[
c_2=c_1
\] となります。

これを予算制約
\[
c_1+\frac{c_2}{2}=120
\] に代入すると、
\[
c_1+\frac{c_1}{2}=120
\] \[
\frac{3}{2}c_1=120
\] \[
c_1=80
\] です。

したがって
\[
c_2=80
\] です。

よって、最適消費点は
\[
(c_1,c_2)=(80,80)
\] です。

第1期所得は
\[
y_1=60
\] ですが、第1期の最適消費は
\[
c_1=80
\] です。

つまり、第1期には所得より
\[
80-60=20
\] だけ多く消費しています。

したがって、この消費者は第1期に 20 だけ借り入れることになります。

(1) 最適消費は \((60,120)\) である。
→ 誤りです。
これは単に所得をそのまま各期に消費した場合であり、最適化の結果ではありません。

(2) 最適消費は \((80,80)\) であり、第1期には20だけ借り入れる。
→ 正しいです。

(3) 最適消費は \((80,80)\) であり、第1期には20だけ貯蓄する。
→ 誤りです。
第1期消費 \(80\) は第1期所得 \(60\) より大きいので、貯蓄ではなく借り入れです。

(4) 最適消費は \((90,60)\) である。
→ 誤りです。
予算制約も満たしますが、効用最大にはなっていません。

予算制約は
\[
c_2=240-2c_1
\] であり、最適消費点は
\[
(c_1,c_2)=(80,80)
\] です。

また、第1期には
\[
80-60=20
\] だけ借り入れるので、正解は (2) です。

このタイプの問題では、次の順番で解くと分かりやすいです。