1.1 消費者パート – 問題10(解答・解説)
解答
正解は 3. \(x=15\) です。
考え方
この問題は、効用最大化の問題です。
消費者は予算の範囲内で、効用
\[
u=x^{3/4}y^{1/4}
\]
をできるだけ大きくするように \(x\) 財と \(y\) 財を選びます。
与えられている条件は次の通りです。
- \(X\) 財の価格：\(p_x=9\)
- \(Y\) 財の価格：\(p_y=3\)
- 予算：\(M=180\)
したがって、予算制約式は
\[
9x+3y=180
\]
です。
解き方
効用関数
\[
u=x^{3/4}y^{1/4}
\]
はコブ＝ダグラス型効用関数です。
コブ＝ダグラス型
\[
u=x^a y^b
\]
では、最適消費では予算のうち
- \(x\) 財に \(a\) の割合
- \(y\) 財に \(b\) の割合
を使う形になります。
今回は
\[
a=\frac{3}{4}, \quad b=\frac{1}{4}
\]
なので、予算 180 のうち
- \(x\) 財には \(\frac{3}{4}\)
- \(y\) 財には \(\frac{1}{4}\)
を使えばよいことになります。
\(x\) 財に使う金額
\[
\frac{3}{4}\times 180=135
\]
\(x\) 財の価格は 1単位あたり 9 なので、
\[
x=\frac{135}{9}=15
\]
よって、\(X\) 財の最適消費量は 15 です。
確認
実際に \(x=15\) を予算式に入れると、
\[
9\times 15=135
\]
なので、残りの予算は
\[
180-135=45
\]
です。
\(y\) 財の価格は 3 だから、
\[
y=\frac{45}{3}=15
\]
となります。
つまり最適点は
\[
(x,y)=(15,15)
\]
です。
各選択肢の判定
1. 5 → 誤り
2. 10 → 誤り
3. 15 → 正しい
4. 20 → 誤り
結論
予算 180 のうち、\(x\) 財には \(\frac{3}{4}\) を使うので、
\[
x=\frac{\left(\frac{3}{4}\times 180\right)}{9}=15
\]
したがって、正解は 3. 15 です。
補足：別の解き方
限界効用を使って解くこともできます。
\[
MU_x=\frac{3}{4}x^{-1/4}y^{1/4}, \quad
MU_y=\frac{1}{4}x^{3/4}y^{-3/4}
\]
最適消費点では
\[
\frac{MU_x}{MU_y}=\frac{p_x}{p_y}
\]
が成り立ちます。
左辺を計算すると
\[
\frac{MU_x}{MU_y}
=\frac{\frac{3}{4}x^{-1/4}y^{1/4}}{\frac{1}{4}x^{3/4}y^{-3/4}}
=3\cdot \frac{y}{x}
\]
右辺は
\[
\frac{p_x}{p_y}=\frac{9}{3}=3
\]
なので、
\[
3\cdot \frac{y}{x}=3
\]
\[
\frac{y}{x}=1
\]
\[
y=x
\]
これを予算式
\[
9x+3y=180
\]
に代入すると、
\[
9x+3x=180
\]
\[
12x=180
\]
\[
x=15
\]
となります。